Справедливая стоимость опциона

Хотелось бы порассуждать на тему справедливой стоимости: что это такое, есть ли в ней практический смысл, и т.д. Все рассуждения — с точки зрения долгосрочной торговли опционами внутри одной календарной серии: когда есть некий прогноз на экспирацию, открывается поза, и с редким управлением (или даже без) она доводится до экспирации.

Итак, если не ошибаюсь, справедливая стоимость опциона определяется как ожидаемый доход от опциона. Здесь и далее предлагаю считать, что затраты на поддержание позиции = 0, комиссию и спред не учитываем. Рассмотрим сначала упрощенный пример (взял из книги «Опционы» Натенберга): пусть цена БА сейчас 100п, а на экспирацию возможны только пять значений: 80, 90, 100, 110, 120 и вероятность каждого исхода = 20%. Посчитаем справедливую стоимость опциона 100 Колл. Если БА на экспу будет равен 80, 90 или 100, то такой колл ничего не даст. Если БА будет 110п, то доход будет 10п. Если 120п, то доход 20п. Ожидаемый доход от такого опциона (предположим, что он достался нам бесплатно) будет: 
0п * 20% + 0п * 20% + 0п * 20% + 10п * 20% + 20п * 20% = 6п. 
Значит, справедливой стоимостью при заданном раскладе будет 6п. Сделка по этой цене будет давать нулевое матожидание прибыли и для покупателя, и для продавца. Т.е. все справедливо.

Рассмотрим теперь более реальное распределение вероятности, где будет цена на экспу. Возьмем его из текущей биржевой улыбки и обозначим это распределение как Q:

Поскольку распределение теперь не дискретное, а непрерывное, то ожидаемый доход теперь считаем, как интеграл от произведения платежной ф-ции колла на ф-цию плотности распределения (фактически, интегрирование идет только по зеленому хвостику распределения, где платежная функция > 0). Это и будет справедливой стоимостью опциона. 

Возникает вопрос — единственное ли это возможное распределение вероятности или можно взять какое-нибудь другое? Что мешает, к примеру, уменьшить дисперсию у рыночного распределения (если мы уверены, что на рынке завышена ожидаемая вола)? Рассмотрим такое распределение (и назовем его P):

Очевидно, что расчет по новому распределению даст другое значение справедливой стоимости. А мы можем менять дисперсию как угодно: и уменьшать до нуля, и увеличивать до бесконечности. Кроме того, можно менять не только второй момент распределения, но и третий (асимметрию), и четвертый (толщина хвостов) и т.д. И каждый раз получать новое распределение, дающее новое значение справедливой стоимости. Отсюда получается первый вывод:

Справедливых стоимостей одного и того же опциона — бесконечное кол-во.

Можно даже сделать более сильное утверждение:

Справедливая стоимость опциона может принимать любое значение от нуля до +беск.

Т.е. для любого положительного числа можно подобрать такое распределение, расчет справедливой стоимости по которому выдаст заданное число. Сделал анимашку, чтобы проиллюстрировать это утверждение. На ней видно, как матожидание дохода опциона колл при разных распределениях может расти от нуля до +беск.

Если оба утверждения верные, то это как-то обесценивает само понятие «справедливой стоимости». Если любое положительное значение можно назвать справедливой ценой, то какой в ней смысл? Но может быть есть наиболее справедливая цена среди всего множества возможных? Т.е. можно ли назвать какое-то распределение более справедливым, чем другое? Мне кажется, каждое распределение имеет право на жизнь и нельзя сказать, что какое-то более справедливо, чем другое. Но зато постфактум можно определить, какое распределение оказалось точнее — дало большую вероятность тому значению цены БА, где произошла экспирация. Рассмотрим следующую картинку:

Здесь два распределения вероятности, прогнозирующие, где произойдет экспирация. С цветной заливкой — P. С бесцветной заливкой — Q. Вертикальная синия черта — текущая цена БА, на момент прогноза. Вертикальная красная черта — где, допустим, произошла экспирация. Видно, что P оказалось точнее Q, поскольку дало большую вероятность цене экспирации (p > q). Можно сказать, что справедливая стоимость по распределению P «точнее» справедливой стоимости по Q. Делаем следующий вывод:

Справедливых стоимостей — бесконечное кол-во, но некоторые из них считаются по более точным распределениям, чем другие.

Самым-самым точным распределением будет такое: цене БА в экспирацию назначается 100%, а вся остальная область 0%. Справедливая стоимость по такому распределению будет равна внутренней стоимости опциона. И это будет идеально точная справедливая цена опциона. К сожалению, построить такое распределение можно только заглянув в будущее, а это невозможно. Но чтобы зарабатывать на опционах — необязательно уметь 100% точно предсказывать будущую цену. Достаточно быть просто немного точнее, чем рынок (всего лишь :).

Предположим, у нас есть модель распределения вероятности, которая прогнозирует цену на экспу стабильно точнее, чем это делает рынок. Т.е. p > q в любой момент времени. Пусть в какой-то момент времени, Price_Q — справедливая стоимость опциона колл по распределению Q, по рынку. Предполагаем, что по этой цене мы можем в данный момент купить или продать этот опцион. Price_P — справедливая цена по P — нашей модели (которая точнее чем рынок). Допустим, Price_Q > Price_P. Т.е. относительно нашей модели рынок сейчас переоценивает выбранный опцион. Значит ли это, что продав голый опцион, мы гарантированно получим прибыль на экспирации? Посмотрим пример:

На картинке выше видно, что хотя наша модель и оказалась точнее рынка (p-q > 0, пунктирная линия — это график P-Q), проданный опцион колл принес убыток. Отсюда вывод:

Справедливая стоимость по более точному распределению сама по себе еще не гарантирует прибыль.

Чтобы гарантированно получить прибыль на экспирацию (при условии, что у нас есть более точное распределение, чем рыночное) нужно хотя бы добавить фьюч в позицию, а еще лучше 2-3 опциона на других страйках. Например, вот такую позу подбирает геналгоритм под заданные P и Q (она точно принесет прибыль, если экспирация произойдет там, где P-Q>0):

Т.е. нужно строить такую опционную позицию, которая имела бы положительный PnL над областями где P-Q > 0 (подробнее о подходе в этом топике:Оптимальная опционная позиция: общий принцип). При таком подходе нам уже становится не важно, какая справедливая стоимость у того или иного опциона. Важно — иметь модель более точного прогноза, чем рыночное распределение, и открывать позу в соответствии с текущей разницей между моделью и рынком (P — Q).

Еще хотел порассуждать на тему — а можно ли в принципе построить модель, которая предсказывает будущую цену стабильно точнее, чем рынок. Но это уже, наверное, тема для отдельного топика.

Итак, перечислю еще раз выводы, к которым пришел:

1. Справедливых стоимостей одного и того же опциона — бесконечное кол-во.
2. Справедливая стоимость опциона может принимать любое значение от нуля до +беск.
3. Справедливых стоимостей — бесконечное кол-во, но некоторые из них считаются по более точным распределениям, чем другие.
4. Самая-самая точная справедливая стоимость — это внутренняя стоимость опциона в момент экспирации.
5. Справедливая стоимость по более точному распределению для голой опционной позиции еще не гарантирует прибыль.
6. Важнее не справедливая стоимость какого-то отдельного опциона, а модель всего распределения, которая предсказывает будущую цену точнее, чем рынок.